Cho dãy số u_n = (a × 5^n + 4^n)/(3 × 5^n − 2^n), với a là tham số thực. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Đúng.               d) Sai.

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{a \cdot {5^n} + {4^n}}}{{3 \cdot {5^n} - {2^n}}}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{a + {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n}}}{{3 - {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n}}}\).

Vì \(\frac{4}{5}\) < 1 và \(\frac{2}{5}\) < 1 ⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{4}{5}} \right)^n} = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} = 0\).

⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\frac{{a + 0}}{{3 - 0}} = \frac{a}{3}\).

a) Đúng. Khi a = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\frac{0}{3}\) = 0.

b) Đúng. Nếu a = 3 thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\frac{3}{3}\) = 1.

c) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\frac{a}{3}\) ⇒ phụ thuộc vào giá trị của a.

d) Sai. Để \(\frac{a}{3}\) = 2 ⇒ a = 6, không phải 5.