Cho dãy số u_n = 1/(căn bậc hai của 1 + căn bậc hai của 2) + 1/(căn bậc hai của 2 + căn bậc hai của 3) + ... + 1/(căn bậc hai của n + căn bậc hai của (n + 1)). Tính giới hạn lim khi n → dương

25/25

Cho dãy số u_n = \(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }}\). Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{{u_n}}}{{\sqrt n }}\).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Trục căn thức ở mẫu cho từng số hạng của tổng:

\(\frac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \frac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{k + 1 - k}} = \sqrt {k + 1} - \sqrt k \).

⇒ u_n = \(\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \sqrt {n + 1} - 1\).

Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{{u_n}}}{{\sqrt n }}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{\sqrt {n + 1} - 1}}{{\sqrt n }}\).

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{n}} - \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)\) = 1 – 0 = 1.