Cho dãy số: u n = 1/2 + 1/2^2 + 1/ 2^3 + … + 1/ n^2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

38/50

Cho dãy số: \({u_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \frac{1}{{{n^2}}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Dãy số bị chặn trên.

Dãy số bị chặn dưới.

Dãy số bị chặn.

Dãy số không bị chặn.

Giải thích

Xét \(\frac{1}{{{k^2}}} < \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)k}} = \frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k},\forall k \ge 2\)

\( \Rightarrow {u_n} < \frac{1}{2} + \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{6}} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{n} < \frac{3}{2}\).

\( \Rightarrow 0 < {u_n} < \frac{3}{2},\forall n \in \mathbb{N}{\rm{*}}\)

Vậy \({u_n}\) bị chặn. Chọn C.