Cho dãy số {u_1} = 1; u_{n + 1}} = căn {3u_n^2 + 2}

5/235

Cho dãy số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} }\end{array}} \right.\) và \(S = u_1^2 + u_2^2 + \ldots + u_{2023}^2 + 2023\). Khi đó \(S\) có bao nhiêu chữ số.

966.

965.

964.

963.

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Đặt \({v_n} = u_n^2 + 1\). Chứng minh \({v_n}\) là một cấp số nhân.

Từ đó tìm công thức tổng quát của \(u_n^2\).

Tính \(S\) bằng cách sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.

Sử dụng ứng dụng của logarit để tìm số chữ số của \(S\).

Lời giải

Ta có: \({u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 = 3u_n^2 + 2 \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 + 1 = 3\left( {u_n^2 + 1} \right)\).

Đặt \({v_n} = u_n^2 + 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = 2.}\\{{v_{n + 1}} = 3{v_n}.}\end{array}} \right.\)

Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({v_1} = 2\) công bội \(q = 3\) nên \({v_n} = {2.3^{n - 1}}\).

\( \Rightarrow u_n^2 = {2.3^{n - 1}} - 1\).

Khi đó: \(S = 2.\left( {1 + {3^1} + {3^2} + \ldots + {3^{2022}}} \right) = {3^{2023}} - 1\).

Ta có: \(S + 1 = {3^{2023}}\) có \(\left[ {\log {3^{2023}}} \right] + 1 = 966\) (chữ số).

Do đó \(S\) có 966 hoặc 965 chữ số.

\(S\) có 965 chữ số khi \(S + 1 = {10^{965}} \Leftrightarrow {3^{2023}} = {10^{965}}\) (vô lý do \({3^{2023}}\) là số lẻ còn \({10^{965}}\) là số chẵn)

Vậy số chữ số của \(S = 966\) (chữ số).