Cho dãy số tăng a, b, c (c ∈ ℤ) theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời a, b + 8, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng và a, b + 8, c + 64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị

Đáp án: 64.

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}ac = {b^2}\\a + c = 2\left( {b + 8} \right)\\a\left( {c + 64} \right) = {\left( {b + 8} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ac = {b^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\a - 2b = 16 - c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\ac + 64a = {\left( {b + 8} \right)^2}\,\,(3)\end{array} \right.\]

Thay (1) vào (3) ta được: b² + 64a = b² + 16b + 64 ⇔ 4a - b = 4 (4)

Kết hợp (2) với (4) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2b = 16 - c\\4a - b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{c - 8}}{7}\\b = \frac{{4c - 60}}{7}\end{array} \right.\,\,(5)\)

Thay (5) vào (1) ta được: 7(c - 8)c = (4c - 60)² ⇔ 9c² - 424c + 3600 = 0

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 36\\c = \frac{{100}}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow c = 36\left( {c \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với c = 36 => a = 4, b = 12 => P = 4 - 12 + 72 = 64.