Cho dãy số (an) được xác định bởi hệ thức truy hồi: a1 = 2, an+1 = −2an với n ∈ N*. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

15/22

Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) được xác định bởi hệ thức truy hồi: \({a_1} = 2,{a_{n + 1}} = - 2{a_n}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}.\)Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

\(\left( {{a_n}} \right)\)là một cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = 2\\q = - 2\end{array} \right..\)

ĐúngSai

Số hạng thứ \(8\) của dãy bằng \(256.\)

ĐúngSai

Số \( - 2048\)là một số hạng của dãy.

ĐúngSai

\({S_{10}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots + {a_{10}} = - 682.\)

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng. Ta có \(\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = - 2\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\), vậy đây là một cấp số nhân có số hạng đầu \({a_1} = 2\) và công bội \(q = - 2\).

b) Sai. Số hạng thứ 8 là: \({a_8} = {a_1} \cdot {q^7} = 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^7} = - 256 \ne 256\).

c) Sai. Xét \({a_n} = - 2048 \Leftrightarrow 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = - 2048 \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = - 1024\) (vô nghiệm). Vậy \( - 2048\) không là số hạng của dãy.

d) Đúng. Tổng 10 số hạng đầu là: \({S_{10}} = {a_1} \cdot \frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 2 \cdot \frac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 2 \cdot \frac{{ - 1023}}{3} = - 682\).