Cho ΔABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Đường cao AH và phân giác BD cắt nhau tại I. Diện tích ΔBCD bằng

Đáp án đúng là: C.

Xét ΔABC và ΔHBA có:

\(\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{AHB}}} = 90^\circ \).

\(\widehat {{\rm{ABC}}}\) chung.

Vậy ΔABC ∽ ΔHBA (g – g) suy ra \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{HB}}}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{AB}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{{\rm{HB}}}}{{{\rm{AB}}}}\).

ΔABC có BD là tia phân giác nên \(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{DC}}}}{{{\rm{BC}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{DC}}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}\).

Xét ΔABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100.

Từ đó, BC = 10 cm.

Chỉ ra \(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{DC}}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).

Ta có:

\(\frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABD}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{DBC}}}}}} = \frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}\).

S_ABD + S_DBC = S_ABC = \(\frac{1}{2}\)AB.AC = 24 cm².

Mà \(\frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{DBC}}}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABD}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{DBC}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{DBC}}}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABD}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{DBC}}}}}} + \frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{DBC}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{DBC}}}}}} = \frac{3}{5} + 1 = \frac{8}{5}\).

Vậy S_BDC = \(\frac{{24}}{8}\).5 = 15 cm².