Cho ΔABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm, đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho AB = BE. Tia phân giác \[\widehat {{\rm{ABC}}}\] cắt AC tại D. Độ dài HA bằng

Đáp án đúng là: D.

Xét ΔABC và ΔHBA có: \(\widehat {{\rm{BHA}}} = \widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ \), \(\widehat {\rm{B}}\) chung.

Suy ra ΔABC ∽ ΔHBA (g – g).

Từ đó, có \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{HB}}}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{BA}}}}\) nên AB² = HB.BC = BE² (AB = BE).

Xét ΔABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25.

Suy ra BC = 5 cm.

Có ΔABC ∽ ΔHBA (cmt) nên \(\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{HA}}}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{AB}}}}\).

Suy ra \(\frac{{{\rm{HA}}}}{{\rm{4}}} = \frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}\)

Do đó, \({\rm{HA}} = \frac{{{\rm{3}} \cdot {\rm{4}}}}{{\rm{5}}} = \frac{{12}}{5}\)

Vậy HA = \(\frac{{12}}{{\rm{5}}}\) cm.