Cho ΔABC nhọn. Gọi O, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. a) Chứng minh

a) Chứng minh: OE // BC

Xét tam giác ABC có:

O là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

=> OE là đường trung bình của tam giác ABC

=> OE // BC (định lý đường trung bình trong tam giác)

b) Từ A vẽ  AH⊥BC tại H. Gọi K là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh tứ giác AHBK là hình chữ nhật.

Vì K là điểm đối xứng của H qua O nên O là trung điểm của HK.

Xét tứ giác AHBK ta có:

O là trung điểm của HK

O là trung điểm của AB

O là giao điểm của đường chéo HK và AB.

Suy ra, tứ giác AHBK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Mặt khác, AH⊥BC tại H nên AHB^=90∘

=> Tứ giác AHBK là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

c) Giả sử BA = BC. Chứng minh EH⊥EK.

Theo câu a) ta có OE là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒OE=12BC mà BA=BC⇒OE=12BA (1)

Ta lại có: AHBK là hình chữ nhật nên AB = HK (tính chất của hình chữ nhật)

⇒OK=OH=12KH=12BA (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OE = OK = OH

Ta có:

+) OE = OK => ΔEOK cân tại O (định nghĩa tam giác cân)

⇒OKE^=OEK^ (tính chất)

+) OE = OH => ΔEOH cân tại O (định nghĩa tam giác cân)

⇒OHE^=OEH^ (tính chất)

Xét tam giác EKH ta có:

HKE^+KEH^+EHK^=180∘ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

⇒OKE^+OEK^+OHE^+OEH^=180∘

⇒2OEK^+OEH^=180∘

⇒OEK^+OEH^=90∘

⇒KEH^=90∘

⇒EK⊥EH tại E