Cho đa thức P(x)=ax^2+bx+c và 9a+2b>0. Chứng minh trong ba số P(2);P(−1);P(−3) có ít nhất một số dương.

Ta có \(P\left( 2 \right) = 4a + 2b + c\,;\,\,P\left( { - 1} \right) = a - b + c\,;\,\,P\left( { - 3} \right) = 9a - 3b + c\)

\[2P\left( 2 \right) + P\left( { - 1} \right) + P\left( { - 3} \right) = 18a + 4b = 2\left( {9a + 2b} \right) > 0.\]

Giả sử cả ba số \(P\left( 2 \right)\,;\,\,P\left( { - 1} \right)\,;\,\,P\left( { - 3} \right)\) đều âm nên \[2P\left( 2 \right) + P\left( { - 1} \right) + {\rm{ }}P\left( { - 3} \right) < 0\] (vô lí)

Trong ba số \(P\left( 2 \right)\,;\,\,P\left( { - 1} \right)\,;\,\,P\left( { - 3} \right)\) có ít nhất một số dương.