Cho đa thức P(x)=−2−3x^4−x−5x^3+10x−17x^2+12x^3−5+x^3. (a) Thu gọn đa thức trên tồi sắp xếp chúng theo lũy thừa giảm dần của biến. (b) Xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức P(

a) Ta có: \(P\left( x \right) = - 2 - 3{x^4} - x - 5{x^3} + 10x - 17{x^2} + \frac{1}{2}{x^3} - 5 + {x^3}\)

\(P\left( x \right) = - 3{x^4} + \left( { - 5{x^3} + \frac{1}{2}{x^3} + {x^3}} \right) - 17{x^2} + \left( {10x - x} \right) - 5 - 2\)

\(P\left( x \right) = - 3{x^4} - \frac{7}{2}{x^3} - 17{x^2} + 9x - 7\).

b) Ta có bậc của đa thức \(P\left( x \right)\) là 4, hệ số cao nhất là \( - 3\) và hệ số tự do là \( - 7\).

Ta có: \(P\left( { - 2} \right) = - 3.{\left( { - 2} \right)^4} - \frac{7}{2}.{\left( { - 2} \right)^3} - 17.{\left( { - 2} \right)^2} + 9.\left( { - 2} \right) - 7\)

\(P\left( { - 2} \right) = - 49\).

c) Ta có: \(Q\left( x \right) - P\left( x \right) = 2{x^4} - \frac{1}{2}{x^3} - 19x - 1\)

Do đó, \(Q\left( x \right) = P\left( x \right) + 2{x^4} - \frac{1}{2}{x^3} - 19x - 1\)

\(Q\left( x \right) = - 3{x^4} - \frac{7}{2}{x^3} - 17{x^2} + 9x - 7 + 2{x^4} - \frac{1}{2}{x^3} - 19x - 1\)

\(Q\left( x \right) = \left( { - 3{x^4} + 2{x^4}} \right) + \left( { - \frac{7}{2}{x^3} - \frac{1}{2}{x^3}} \right) - 17{x^2} + \left( {9x - 19x} \right) - 7 - 1\)

\(Q\left( x \right) = - {x^4} - 4{x^3} - 17{x^2} - 10x - 8\).

d) Thực hiện phép chia \(P\left( x \right):\left( {2 - x} \right),\) ta có:

Vậy dư của phép chia \(P\left( x \right):\left( {2 - x} \right)\) là \( - 33\).