Cho đa thức P(x) = ax^2 + bx + c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kì thì P(x) là một số chính phương. Chứng minh rằng a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn.

Ta có: P(0) = a.0² + b.0 + c = c = m², m Î\(\mathbb{Z}\), do đó c là số nguyên.

P(1) = a.1² + b.1 + c = a + b + c = k² (k Î\(\mathbb{Z}\)).

Suy ra: a + b = k² – c = k² – m² là số nguyên (*).

P(2) = a.2² + b.2 + c = 4a + 2b + m² = n² (n Î\(\mathbb{Z}\)).

Suy ra 4a + 2b = n² – m² là số nguyên (1).

Từ (1) và (*) ta có: 4a + 2b – 2(a + b) là số nguyên nên 2a là số nguyên, suy ra a là số nguyên. Kết hợp với (*) ta có b là số nguyên.

Từ (1) suy ra n² – m² là số chẵn (2). Suy ra (m – n)(m + n) là số chẵn.

Mà m – n và m + n có cùng tính chẵn lẻ với m, n Î\(\mathbb{Z}\).

Kết hợp với (2) suy ra (m – n)(m + n) chia hết cho 4 hay n² – m² chia hết cho 4.

Kết hợp với (1) ta có: 2b chia hết cho 4 nên b chia hết cho 2, suy ra b là số chẵn.

Vậy a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn khi đa thức P(x) có số nguyên x bất kì thì P(x) là một số chính phương