Cho đa thức P ( x ) = a x^2 + b x + c có x = − 2 là một nghiệm. Xác định a , b , c biết số a lớn hơn số c năm đơn vị và đa thức P ( x ) chia hết cho x − 2 .

• Do số \(a\) lớn hơn số \(c\) năm đơn vị nên ta có \(a = c + 5\).

• Theo đề, ta có \(x = - 2\) là một nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\).

Suy ra \(P\left( { - 2} \right) = 0\).

Do đó \(4a - 2b + c = 0\).

Suy ra \(4a + c = 2b\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

• Ta có đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\) \(\left( * \right)\)

Nên \(P\left( x \right) = \left( {x - 2} \right).Q\left( x \right)\) với \(Q\left( x \right)\) là thương của phép chia đa thức \(P\left( x \right)\) cho đa thức \(x - 2\).

Khi đó \(P\left( 2 \right) = \left( {2 - 2} \right).Q\left( 2 \right) = 0\)

Do đó \(4a + 2b + c = 0\).

Suy ra \(4a + c = - 2b\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(2b = - 2b\).

Do đó \(4b = 0\), nên \(b = 0\).

Thế \(b = 0\) và \(a = c + 5\) vào \(\left( 1 \right)\), ta được \(4\left( {c + 5} \right) + c = 0\).

Hay \(4c + 20 + c = 0\).

Suy ra \(5c = - 20\), nên \(c = - 4\).

Với \(a = c + 5\), ta có \(a = - 4 + 5 = 1\).

Vậy \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = - 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\(\left( * \right)\) Lưu ý: Với dữ kiện đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\), ta có thể thực hiện đặt tính chia đa thức và vẫn suy ra được điều kiện \(\left( 2 \right)\) như sau:

Khi đó, để \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\) thì \(c + 2b + 4a = 0\).

Suy ra \(4a + c = - 2b\,\,\,\,\left( 2 \right)\).