Cho đa thức P ( x ) = 3 x^4 + 7 x^2 − x^3 + 2023 + 8 x − 6 x^2 + 2 x^3 − 3 x^4 − 12 . (a) Thu gọn và sắp xếp đa thức P ( x ) theo số mũ giảm dần của biến, rồi chỉ rõ bậc, hệ số cao nhất,

a) Ta có:

\[\begin{array}{l}P\left( x \right) = 3{x^4} + 7{x^2} - {x^3} + 2023 + 8x - 6{x^2} + 2{x^3} - 3{x^4} - 12x\\{\rm{ = }}\left( {3{x^4} - 3{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 2{x^3}} \right) + \left( {7{x^2} - 6{x^2}} \right) + \left( {8x - 12x} \right) + 2023\\{\rm{ = }}{x^3} + {x^2} - 4x + 2023.\end{array}\]

Do đó \(P\left( x \right)\) có:

Bậc là \(3\).

Hệ số bậc cao nhất là \(1\).

Hệ số tự do là \(2023\).

b) Thay \(x = 2\) vào \(P\left( x \right)\) ta được \(P\left( 2 \right) = {2^3} + {2^2} - 4 \cdot 2 + 2023 = 2027\).

c) Thay \(x = - 1\) vào \(P\left( x \right)\) ta được \(P\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) + 2023 = 2017 \ne 0\).

Do đó \(x = - 1\) không phải là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\).

d) Ta có:

\(\begin{array}{l}M\left( x \right) = P\left( x \right) - {x^3} - {x^2} - 2010\\{\rm{ }} = {x^3} + {x^2} - 4x + 2023 - {x^3} - {x^2} - 2010\\{\rm{ }} = - 4x + 13.\end{array}\)

Cho \(M\left( x \right) = 0\) ta được \( - 4x + 13 = 0\) hay \(x = \frac{{13}}{4}\).

Vậy \(x = \frac{{13}}{4}\) là nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).