Cho đa thức P = ( x 2 − y ) ( 3 x + y 2 ) và Q = ( 6 x 4 y − 2 x y 4 ) : 2 x y . Biết M = P − Q . a) Hệ số cao nhất của đa thức P là 3. b) Bậc của đa thức Q là

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Sai.

b) Đúng.

c) Sai.

d) Sai.

⦁ Ta có \(P = \left( {{x^2} - y} \right)\left( {3x + {y^2}} \right)\)

\( = {x^2}\left( {3x + {y^2}} \right) - y\left( {3x + {y^2}} \right)\)

\[ = 3{x^3} + {x^2}{y^2} - 3xy - {y^3}\]

\[ = {x^2}{y^2} + 3{x^3} - {y^3} - 3xy\].

Khi đó, hệ số cao nhất của đa thức \(P\) là 1. Do đó ý a) sai.

⦁ Ta có \(Q = \left( {6{x^4}y - 2x{y^4}} \right):2xy\)

\( = \left( {6{x^4}y} \right):\left( {2xy} \right) - \left( {2x{y^4}} \right):\left( {2xy} \right)\)

\[ = 3{x^3} - {y^3}\].

Khi đó, đa thức \(Q\) là 3. Do đó ý b) đúng.

⦁ Ta có \(M = P - Q = \left( {{x^2}{y^2} + 3{x^3} - {y^3} - 3xy} \right) - \left( {3{x^3} - {y^3}} \right)\)

\( = {x^2}{y^2} + 3{x^3} - {y^3} - 3xy - 3{x^3} + {y^3}\)

\( = \left( {3{x^3} - 3{x^3}} \right) + {x^2}{y^2} + \left( { - {y^3} + {y^3}} \right) - 3xy\)

\( = {x^2}{y^2} - 3xy\).

Như vậy, hiệu của hai đa thức \(P\) và \(Q\) là một đa thức, không phải đơn thức. Do đó ý c) sai.

⦁ Thay \(x = 2\,;\,\,y = - 1\) vào biểu thức \(M\), ta có:

\[M = {x^2}{y^2} - 3xy = {2^2} \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 3 \cdot 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 4 + 6 = 10.\]

Vậy với \(x = 2\,;\,\,y = - 1\) thì \(M = 10\). Do đó ý d) sai.