Cho đa thức M = x^2 + y^2 − 2x + 4y + 6.

a) Đúng. Ta có \(M = {x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 6\)

\( = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4y + 4} \right) + 1\)

\( = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + 1.\)

b) Đúng. Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) và \({\left( {y + 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,\,\,y \in \mathbb{R}\) nên:

\(M = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi \(x,\,\,y \in \mathbb{R}.\)

c) Đúng. \(M = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + 1 \ge 1\) với mọi \(x,\,\,y \in \mathbb{R}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất đạt được khi các bình phương bằng 0, tức là \(M = 1.\)

d) Sai. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\) và \({\left( {y + 2} \right)^2} = 0\), tức là \(x = 1\) và \(y =  - 2.\)