Cho đa thức f(x) = x^3 - ax^2 + bx - a. Xác định các hệ số a, b của đa thức, biết nó

Lời giải:

Với giả thiết

f(x) chia hết cho (x – 1) suy ra:

f (1) = 0

\( \Leftrightarrow \)1³ – a.1² + b.1 – a = 0

\( \Leftrightarrow \)2a – b = 1 (1)

f(x) chia hết cho (x – 3) suy ra:

f (3) = 0

\( \Leftrightarrow \)3³ – a.3² + b.3 – a = 0

\( \Leftrightarrow \)10a – 3b = 27 (2)

Từ (1) và (2), ta có được hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2a - b = 1\\10a - 3a = 27\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}6a - 3a = 3\\10a - 3b = 27\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}4a = 24\\2a - b = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\2.6 - b = 1\end{array} \right.\)          

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 11\end{array} \right.\)

Vậy đa thức cần tìm là f = x³ −6 x²  + bx – c