Cho đa thức f ( x ) thỏa mãn ( x^2 − 4 x + 3 ) . f ( x + 1 ) = ( x − 2 ) . f ( x − 1 ) . Chứng tỏ rằng đa thức f ( x ) có ít nhất 3 nghiệm.

Ta có: \({x^2} - 4x + 3 = {x^2} - x - 3x + 3 = x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\)

Khi đó, từ \(\left( {{x^2} - 4x + 3} \right).f\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 2} \right).f\left( {x - 1} \right)\) ta có:

\(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right).f\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 2} \right).f\left( {x - 1} \right)\)

• Với \(x = 1\) ta có: \(\left( {1 - 1} \right)\left( {1 - 3} \right).f\left( {1 + 1} \right) = \left( {1 - 2} \right).f\left( {1 - 1} \right)\)

Suy ra \(0.\left( { - 2} \right).f\left( 2 \right) = \left( { - 1} \right).f\left( 0 \right)\) hay \(f\left( 0 \right) = 0\)

Do đó \(x = 0\) là một nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\) \(\left( 1 \right)\)

• Với \(x = 2\) ta có: \(\left( {2 - 1} \right)\left( {2 - 3} \right).f\left( {2 + 1} \right) = \left( {2 - 2} \right).f\left( {2 - 1} \right)\)

Suy ra \(1.\left( { - 1} \right).f\left( 3 \right) = 0.f\left( 1 \right)\) hay \(f\left( 3 \right) = 0\)

Do đó \(x = 3\) là một nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\) \(\left( 2 \right)\)

• Với \(x = 3\) ta có: \(\left( {3 - 1} \right)\left( {3 - 3} \right).f\left( {3 + 1} \right) = \left( {3 - 2} \right).f\left( {3 - 1} \right)\)

Suy ra \(2.0.f\left( 4 \right) = 1.f\left( 2 \right)\) hay \(f\left( 2 \right) = 0\) \(\left( 3 \right)\)

Do đó \(x = 2\) là một nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\).

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có đa thức \(f\left( x \right)\) có ít nhất 3 nghiệm \(x \in \left\{ {0;3;2} \right\}\).