Cho đa thức f ( x ) = a x^3 + b x^2 + c x + d với a ≠ 0 . Tìm giá trị của a ; b ; c ; d để đa thức f ( x ) có các nghiệm là 1 và − 1 , sau đó tìm nghiệm thứ 3 còn lại của đa thức f (

Đa thức \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có nghiệm là 1 và \( - 1\) khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b + c + d = 0}\\{a - b + c - d = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - c}\\{b = - d}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy khi \(a = - c\) và \(b = - d\) thì đa thức \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có hai nghiệm là \( \pm 1\).

• Khi đa thức \[f\left( x \right)\] có 2 nghiệm là \( \pm 1\) thì ta có:

\(f(x) = a{x^3} + b{x^2} - ax - b\)

• Ta có \(f\left( x \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow a{x^3} + b{x^2} - ax - b = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {ax + b} \right) - \left( {ax + b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {ax + b} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {ax + b} \right)\left[ {x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {ax + b} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ax + b = 0\\x - 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{b}{a}\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\]

\( \Rightarrow \) Ngoài nghiệm \(x = \pm 1\) thì đa thức \[f\left( x \right)\] còn nghiệm thứ 3 là \(x = - \frac{b}{a}\).