Cho đa thức A(x)=ax^2+bx+c. Biết A(x) nhận −1 làm nghiệm và A(x) chia hết cho đa thức x−1. Chứng minh a và c là hai số đối nhau.

33/41

Cho đa thức $A (x) = a x^{2} + b x + c$ . Biết $A (x)$ nhận $- 1$ làm nghiệm và $A (x)$ chia hết cho đa thức $x - 1$ . Chứng minh $a$ và $c$ là hai số đối nhau.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Do $A (x)$ nhận $- 1$ làm nghiệm nên ta có $A\left( { - 1} \right) = 0$

Do đó $a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 0$, suy ra $a - b + c = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức $A\left( x \right)$ cho đa thức $x - 1$ như sau:

Cho đa thức A(x)=ax^2+bx+c. Biết A(x) nhận −1 làm nghiệm và A(x) chia hết cho đa thức x−1. Chứng minh a và c là hai số đối nhau. (ảnh 1)

Để $A\left( x \right)$ chia hết cho đa thức $x - 1$ thì $c + b + a = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $a - b + c = c + b + a$

Suy ra $2b = 0$, nên $b = 0$.

Thay $b = 0$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $a + c = 0$, do đó $a = - c$.

Vậy $a$ và $c$ là hai số đối nhau.

Lưu ý: Với dữ kiện $A\left( x \right)$ chia hết cho đa thức $x - 1$ ta có thể suy ra điều kiện $\left( 2 \right)$ theo cách sau:

$A\left( x \right)$ chia hết cho đa thức $x - 1$ nên ta có:

$A\left( x \right) = \left( {x - 1} \right).Q\left( x \right)$ với $Q\left( x \right)$ là thương của phép chia đa thức $A\left( x \right)$ cho đa thức $x - 1$.

Khi đó $A\left( 1 \right) = \left( {1 - 1} \right).Q\left( 1 \right) = 0$ hay $A\left( 1 \right) = 0$.

Suy ra $a + b + c = 0$ $\left( 2 \right)$.