Cho đa thức A(x)=−5x^4+3x^3+2x^2−2x^3−4x^2+1 và B(x)=5x^4+2x^2−28. (a) Thu gọn và sắp xếp đa thức A(x) theo lũy thừa giảm dần của biến. (b) Tính B(2).
a) Thu gọn và sắp xếp đa thức \(A\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến, ta được:
\(A\left( x \right) = - 5{x^4} + 3{x^3} + 2{x^2} - 2{x^3} - 4{x^2} + 1\)
\( = - 5{x^4} + \left( {3{x^3} - 2{x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 4{x^2}} \right) + 1\)
\( = - 5{x^4} + {x^3} - 2{x^2} + 1\)
b) Ta có \(B\left( 2 \right) = 5 \cdot {2^4} + 2 \cdot {2^2} - 28 = 80 + 8 - 28 = 60.\)
c) Ta có \(A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( { - 5{x^4} + {x^3} - 2{x^2} + 1} \right) + \left( {5{x^4} + 2{x^2} - 28} \right)\)
\( = - 5{x^4} + {x^3} - 2{x^2} + 1 + 5{x^4} + 2{x^2} - 28\)
\( = \left( {5{x^4} - 5{x^4}} \right) + {x^3} + \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( {1 - 28} \right)\)\( = {x^3} - 27\).
Nghiệm của của đa thức \(A\left( x \right) + B\left( x \right)\) là \({x^3} - 27 = 0\) nên \({x^3} = 27\) suy ra \(x = 3.\)
Vậy nghiệm của của đa thức \(A\left( x \right) + B\left( x \right)\) là \(x = 3.\)