Cho đa thức A(x) = ax^2 + bx + c. Biết A(x) nhận −1 làm nghiệm và A(x) chia hết cho đa thức x − 1. Chứng minh a và c là hai số đối nhau.

50/50

Cho đa thức $A\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$. Biết $A\left( x \right)$ nhận $ - 1$ làm nghiệm và $A\left( x \right)$ chia hết cho đa thức $x - 1$. Chứng minh $a$ và $c$ là hai số đối nhau.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Do $A\left( x \right)$ nhận $ - 1$ làm nghiệm nên ta có $A\left( { - 1} \right) = 0$

Do đó $a \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + b \cdot \left( { - 1} \right) + c = 0$, suy ra $a - b + c = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức $A\left( x \right)$ cho đa thức $x - 1$ như sau:

$Vậy $a$ và $c$ là hai số đối nhau. (ảnh 1)$

Để $A\left( x \right)$ chia hết cho đa thức $x - 1$ thì $c + b + a = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $a - b + c = c + b + a$

Suy ra $2b = 0$, nên $b = 0$.

Thay $b = 0$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $a + c = 0$, do đó $a = - c$.

Vậy $a$ và $c$ là hai số đối nhau.