Cho đa thức A ( x ) = 5/6 x^3 − 12/7 x^2 + 5 x + 5/7 x^2 + 1/6 x^3 − 3 x + 9 . (a) Thu gọn và sắp xếp đa thức A ( x ) theo lũy thừa giảm dần của biến. (b) Xác định hệ số tự do của đa thứ

a) \(A\left( x \right) = \frac{5}{6}{x^3} - \frac{{12}}{7}{x^2} + 5x + \frac{5}{7}{x^2} + \frac{1}{6}{x^3} - 3x + 9\)

\( = \left( {\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} \right){x^3} + \left( { - \frac{{12}}{7} + \frac{5}{7}} \right){x^2} + \left( {5 - 3} \right)x + 9\)

\( = {x^3} - {x^2} + 2x + 9\).

b) Hệ số tự do của đa thức \(A\left( x \right)\) là 9.

Ta có \(A\left( 2 \right) = {2^3} - {2^2} + 2.2 + 9 = 17\).

c) Ta có \(A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)\).

Suy ra \(C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)\)

\( = {x^3} - 2{x^2} + 9x - 3 - \left( {{x^3} - {x^2} + 2x + 9} \right)\)

\( = {x^3} - 2{x^2} + 9x - 3 - {x^3} + {x^2} - 2x - 9\)

\( = - {x^2} + 7x - 12\).

Để tìm nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\), ta cho \(C\left( x \right) = 0\)

Do đó \( - {x^2} + 7x - 12 = 0\)

\( - {x^2} + 4x + 3x - 12 = 0\)

\( - x\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x - 4} \right) = 0\)

\(\left( { - x + 3} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 3\) hoặc \(x = 4\).

Vậy nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\) là \(x \in \left\{ {3;4} \right\}\).