Cho đa giác lồi n đỉnh (n > 3). Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là 170. Tìm n.

Lời giải

Số đường chéo của đa giác lồi n đỉnh là một cặp đỉnh (không tính n cạnh) được chọn trong n đỉnh của đa giác lồi nên ta có \(C_n^2 - n = \frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} - n\).

Theo đề, ta có số đường chéo của đa giác đó là 170.

Tức là, \(\frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} - n = 170\).

Suy ra \(\frac{{\left( {n - 2} \right)!.\left( {n - 1} \right).n}}{{2.\left( {n - 2} \right)!}} - n = 170\).

Khi đó (n – 1).n – 2n = 340.

Vì vậy n² – 3n – 340 = 0.

Suy ra n = 20 hoặc n = –17.

Vì n > 3 nên ta nhận n = 20.

Vậy n = 20 là giá trị cần tìm.