Cho đa giác lồi A1, A2, An ( n lớn hơn bằng 3) ei,1 bé hơn bằng i bé hơn bằng n

(hình 1.53)Ta chứng minh bằng quy nạp

Với n=3 đẳng thức trở thành a.e1→+b.e2→+c.e3→=0→

(đúng vì đẳng thức này tương đương với đẳng thức ở bài 11)

Giả sử đúng với n=k−1,  k≥4  

Gọi e→ là vectơ đơn vị vuông góc với A1Ak−1 và hướng ra ngoài tam giác A1Ak−1Ak

Theo giả thiết quy nạp ta có A1A2e1→+A2A3e2→+...+Ak−2Ak−1ek−2→+Ak−1A1−e→=0→(1)

Mặt khác xét tam giác A1Ak−1Ak ta có A1Ak−1e→+Ak−1Akek−1→+AkA1ek→=0→ (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.