Cho đa giác đều có n đỉnh, n ∈ N và n ≥ 3 . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 18

Số đoạn thẳng tạo bởi \(n\) đỉnh là \(C_n^2\), trong đó có \(n\) cạnh.

Suy ra số đường chéo là \(C_n^2 - n\).

Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên \(C_n^2 - n = 135\).

Ta có

\(C_n^2 - n = 135\)\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!2!}} - n = 135\)\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 2n = 270\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 270 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 18\\n = - 15\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện ta có \(n = 18\).

Vậy đa giác đều này có 18 đỉnh.