Cho đa giác đều 36 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh trong các đỉnh của đa giác đã cho
Đáp án: 0,91
Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = C_{36}^4 = 58{\mkern 1mu} 905\)
Gọi \(A\): “tứ giác có 2 góc ở 2 đỉnh liền kề (chung một cạnh của tứ giác) là 2 góc tù”
Gọi 4 đỉnh được chọn theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ là A, B, C, D. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ngoại tiếp đa giác đều.
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối diện bằng \({180^\circ }\), (\(\hat A + \hat C = {180^\circ }\) và \(\hat B + \hat D = {180^\circ }\)).
· Vì tổng hai góc đối diện là \({180^\circ }\), nên không thể có 2 góc đối diện cùng là góc tù (lớn hơn \({90^\circ }\)).
· Do đó, một tứ giác nội tiếp chỉ có thể có tối đa 2 góc tù.
Ta có bảng các trường hợp sau
Số góc tù của tứ giác ABCD | Tính chất | Số tứ giác |
2 góc tù | Nếu có 2 góc tù thì chúng bắt buộc phải nằm ở 2 đỉnh liền kề (ví dụ \(\hat B\) và \(\hat C\) cùng tù, khi đó \(\hat A\) và \(\hat D\) sẽ nhọn). |
|
1 góc tù | Giả sử\(\hat B\) tù thì \(\hat D\) sẽ nhọn. Góc \(\hat C\), \(\hat A\) bắt buộc vuông  | Giả sử góc A và C vuông thì BD phải là đường chéo qua tâm, sau đó ta chọn mỗi phía của đường BD một đỉnh A và C sao cho AC không tạo thành một đường chéo qua tâm. Bước 1: chọn 1 đường chéo qua tâm có 18 cách chọn Bước 2: mỗi phía của đường BD có 17 đỉnh, chọn đỉnh A có 17 cách chọn, chọn đỉnh C sao cho AC không qua tâm có 16 cách chọn Vậy có 18.17.16 |
0 góc tù | \(\hat B\),\(\hat D\), \(\hat C\), \(\hat A\) bắt buộc vuông  | Đa giác đều có 36 đỉnh có 18 đường chéo qua tâm, chọn 2 đường chéo và nối lại ta được một tứ giác có 4 góc vuông. Vậy số tứ giác thỏa mãn trường hợp này là: \(C_{18}^2 = 153\) |
Suy ra, \(n\left( A \right) = C_{36}^4 - C_{18}^2 - 18.17.16 = 53856\)
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{53856}}{{58905}} \approx 0,91428\)