Cho cung một phần tư đường tròn với hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau

a) Xét hai tam giác AIO và CIO có:

OA = OC

OI chung

AIO^=CIO^

Nên ∆AIO=∆CIO c.g.c

b) Tìm quỹ tích điểm I khi C di động trên cung AB.

- Phần thuận:

Ta có:

AIO^=CIO^=1800-IOC^+ICO^=1800-12HOC^+HCO^=1800-450=1350

Vì A, O cố định nên quỹ tích điểm I nằm trên cung 1350 dựng trên đoạn AO.

- Giới hạn:

Vì C chỉ chạy trên cung AB⏜ nên điểm I chỉ chạy trên cung chứa góc 1350 dựng trên đoạn AO thuộc nửa mặt phẳng bờ AO có chứa điểm B.

- Phần đảo:

Lấy điểm I trên cung chứa góc 1350 dựng trên đoạn AO. Dựng OC sao cho OI là tia phân giác góc AOC^ (C nằm trên cung), từ C hạ  CH⊥OA

Vì AIO^=CIO^=1350 nên CIA^=3600-2.1350=900, do vậy C, I, H, A cùng nằm trên cùng một đường tròn.

Từ đó suy ra ICH^=IAH^=ICO^ => IC là tia phân giác góc OCH^, vì vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác COH.

- Kết luận: quỹ tích điểm I là cung chứa góc 1350 dựng trên đoạn AO thuộc nửa mặt phẳng bờ AO có chứa điểm B.