Chiều cao của mực nước \(h\)(m) tại một cảng biển theo thời gian \(t\)(giờ) \(\left( {0 \le t \le 24} \right)\) được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = 13 + 3{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\).

a) Chiều cao của mực nước vào thời điểm \(t = 4\) là bao nhiêu mét?

\(h(4) = 13 + 3\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}.4} \right) = 14,5\)(mét) (0.25)

b) Dựa vào đồ thị của hàm số côsin (xem hình bên dưới), hãy cho biết vào những thời điểm nào trong ngày thì chiều cao của mực nước trên \(11,5{\rm{\;m}}\).

Do chiều cao của mực nước trên 11,5 m nên \(13 + 3{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) > 11,5 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) > - \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (0.25)

Do \(0 \le t \le 24 \Leftrightarrow 0 \le \frac{\pi }{{12}}t \le 2\pi \,\,\,\left( 2 \right)\)

Đặt \(x = \frac{\pi }{{12}}t\), từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x > - \frac{1}{2}\\0 \le x \le 2\pi \end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên \(\left[ {0;2\pi } \right]\), ta có

$hạng thứ 20 của cấp số cộng là \({u_{20}} = 37\). c) 53 là một số hạng của cấp số cộng đã cho. d) Tổng 50 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \({S_{50}} = 2300.\) (ảnh 2)$

\(\left[ \begin{array}{l}0 \le x < \frac{{2\pi }}{3}\\\frac{{4\pi }}{3} < x \le 2\pi \end{array} \right.\,\,(0.25)\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{{12}}t < \frac{{2\pi }}{3}\\\frac{{4\pi }}{3} < \frac{\pi }{{12}}t \le 2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le t < 8\\16 < t \le 24\end{array} \right.\)

Ứng với các thời điểm \(t \in \left[ {0;8} \right) \cup \left( {16;24} \right]\) (h), thì chiều cao của mực nước tại cảng biển trên 11,5 m. (0.25)

Cho cot alpha = 2. Tính giá trị của biểu thức A = (3sin alpha + cos alpha)/(5sin alpha − 2cos alpha).