Cho cos alpha = 11/61 và −pi/2 < alpha < 0. Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

13/22

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai

Cho \({\rm{cos}}\alpha = \frac{{11}}{{61}}\) và \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

\({\rm{sin}}\alpha = - \frac{{60}}{{61}}\).

ĐúngSai

\({\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{6} - \alpha } \right) = \frac{{11}}{{122}}\).

ĐúngSai

\({\rm{cos}}\left( {2\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{ - 3479}}{{7442}}\).

ĐúngSai

\({\rm{tan}}\left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2\alpha } \right) = - \frac{{4799}}{{2159}}\).

ĐúngSai

Giải thích

a) ĐÚNG: Ta có \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{11}}{{61}}} \right)^2} = \frac{{3600}}{{3721}}\). Vì góc thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\) (góc phần tư thứ IV) nên giá trị sin âm. Do đó, \({\rm{sin}}\alpha = - \sqrt {\frac{{3600}}{{3721}}} = - \frac{{60}}{{61}}\).

b) SAI: Sử dụng công thức cộng: \[{\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{6} - \alpha } \right) = {\rm{sin}}\frac{\pi }{6}{\rm{cos}}\alpha - {\rm{cos}}\frac{\pi }{6}{\rm{sin}}\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{{11}}{{61}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \left( { - \frac{{60}}{{61}}} \right) = \frac{{11 + 60\sqrt 3 }}{{122}}\], giá trị này hoàn toàn khác với \(\frac{{11}}{{122}}\).

c) SAI: Tính các giá trị nhân đôi: \({\rm{sin}}2\alpha = 2{\rm{sin}}\alpha {\rm{cos}}\alpha = - \frac{{1320}}{{3721}}\) và \({\rm{cos}}2\alpha = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = - \frac{{3479}}{{3721}}\).

Áp dụng công thức cộng cho cosin: \({\rm{cos}}\left( {2\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{cos}}2\alpha {\rm{cos}}\frac{\pi }{3} - {\rm{sin}}2\alpha {\rm{sin}}\frac{\pi }{3} = \frac{{ - 3479 + 1320\sqrt 3 }}{{7442}}\), biểu thức dính căn thức nên không bằng phân số thuần túy đề bài cho.

d) ĐÚNG: Ta tìm được \({\rm{tan}}2\alpha = \frac{{{\rm{sin}}2\alpha }}{{{\rm{cos}}2\alpha }} = \frac{{1320}}{{3479}}\).

Khai triển biểu thức: \[{\rm{tan}}\left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2\alpha } \right) = \frac{{{\rm{tan}}\frac{{3\pi }}{4} - {\rm{tan}}2\alpha }}{{1 + {\rm{tan}}\frac{{3\pi }}{4}{\rm{tan}}2\alpha }} = \frac{{ - 1 - \frac{{1320}}{{3479}}}}{{1 - \frac{{1320}}{{3479}}}} = - \frac{{4799}}{{2159}}\].