Cho cos α = − 4 /5 với pi/2 < α < pi . Tính sin α , cos ( α + pi/3 ) .

Lời giải

Cho \[\cos \alpha  =  - \frac{4}{5}\]  với \[\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \]. Tính \[\sin \alpha \,\,,\,\,\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\]         Ta có: \[\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \,\, \Rightarrow \,\,\sin \alpha  > 0\]  Vậy \[\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \frac{3}{5}\] Cách trình bày khác Ta có \[{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{3}{5}\]

Vì \[\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \,\, \Rightarrow \,\,\sin \alpha  = \frac{3}{5}\]Vì \[\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\,\, \Rightarrow \,\,\cos \alpha  =  - \frac{3}{5}\]

\[\begin{array}{l}\cos (\alpha  + \frac{\pi }{3}) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{{3\,\,\,}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( { - \frac{4}{5}} \right).\frac{1}{2} - \frac{3}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} =  - \frac{{4 + 3\sqrt 3 }}{{10}}\end{array}\]