Người ta căng hai sợi dây cáp phát sáng vào hai đường chéo của hình hộp là A'C và BD'. Giá sợi dây cáp là 100 nghìn đồng/mét. (ảnh 2)

a) Đúng. Ta có \(A\left( {0;0;0} \right),A'\left( {0;0;5} \right),B\left( {0;10;0} \right),D\left( {20;0;0} \right)\).

\[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \Rightarrow C\left( {20;10;0} \right)\].

\[\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \Rightarrow D'\left( {20;0;5} \right)\].

b) Sai. \[AC' = BD' = \sqrt {{{20}^2} + {{10}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} = \sqrt {525} \] (mét).

Tổng số tiền cần để mua hai sợi dây cáp phát sáng AC' và BD' là: \[2 \cdot \sqrt {525} \cdot 100 = 4583\] (nghìn đồng).

c) Đúng. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\): \[\overrightarrow {A'B} = \left( {0;10; - 5} \right)\]; \[\overrightarrow {A'C} = \left( {20;10; - 5} \right)\].

Ta có \[\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = \left( {0; - 100; - 200} \right) = - 100\left( {0;1;2} \right)\].

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) là \[\overrightarrow n = \left( {0;1;2} \right)\].

Phương trình mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) là: \[y + 2z - \left( {2 \cdot 5} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 2z - 10 = 0\].

d) Đúng.

+ Tại thời điểm t = 0 hai điểm sáng M, N bắt đầu chuyển động.

Do điểm sáng M di chuyển với vận tốc là 3 m/s, điểm sáng N di chuyển với vận tốc là 2 m/s trên cùng đoạn đường bằng nhau, nên điểm sáng M sẽ đến đích trước tại thời điểm t với điều kiện \[0 \le t \le \frac{{\sqrt {525} }}{3}\].

Ta có \({\overrightarrow v _M} = k \cdot \overrightarrow {A'C} \,\,\left( {k > 0} \right) \Rightarrow k = \frac{{\left| {{{\overrightarrow v }_M}} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {A'C} } \right|}} = \frac{3}{{\sqrt {{{20}^2} + {{10}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{35}}\).

Suy ra \[{\overrightarrow v _M} = \left( {\frac{{4\sqrt {21} }}{7};\,\,\frac{{2\sqrt {21} }}{7};\,\frac{{ - \sqrt {21} }}{7}} \right)\].

+ Tại thời điểm t:

Ta có \[\overrightarrow {A'M} = t \cdot \overrightarrow {{v_M}} \] \[\begin{array}{l}\\ \Rightarrow \overrightarrow {A'M} = \left( {\frac{{4\sqrt {21} }}{7}t;\,\,\frac{{2\sqrt {21} }}{7}t;\,\frac{{ - \sqrt {21} }}{7}t} \right)\end{array}\]\[\begin{array}{l}\\ \Rightarrow M = \left( {\frac{{4\sqrt {21} }}{7}t;\,\,\frac{{2\sqrt {21} }}{7}t;\,\frac{{ - \sqrt {21} }}{7}t + 5} \right)\end{array}\].

Ta có \[\overrightarrow {BN} = t \cdot \overrightarrow {{v_N}} \]tương tự ta suy ra \[\begin{array}{l}\\N = \left( {\frac{{8\sqrt {21} }}{{21}}t;\,\frac{{ - 4\sqrt {21} }}{{21}}t + 10;\,\frac{{2\sqrt {21} }}{{21}}t\,} \right)\end{array}\].

Khi đó

\[\begin{array}{l}\\{d^2}\left( t \right) = M{N^2} = {\left( {\frac{{ - 4\sqrt {21} }}{{21}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 10\sqrt {21} }}{{21}}t + 10} \right)^2} + {\left( {\frac{{5\sqrt {21} }}{{21}}t - 5} \right)^2}\\{d^2}\left( t \right) = \frac{{47}}{7}{t^2} - \frac{{250\sqrt {21} }}{{21}}t + 125\end{array}\]

\[{d^2}\left( t \right)\] là tam thức bậc hai có \[a = \frac{{47}}{7} > 0\].

\[{d^2}\left( t \right)\]đạt giá trị nhỏ nhất tại \[{t_0} = \frac{{250\sqrt {21} \cdot 7}}{{2 \cdot 21 \cdot 47}} \Rightarrow {d^2}\left( {{t_0}} \right) = \frac{{2000}}{{141}}\].

\[{d_{\min }} = \sqrt {{d^2}\left( {{t_0}} \right)} \approx 3,77\].

Cho cấp số nhân Un với {u_1} = 2 và công bội q = 3. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân.