Cho cấp số nhân Un thoả mãn tất cả các điều kiện sau:

8/235

Cho cấp số nhân \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) thoả mãn tất cả các điều kiện sau:

i.\(\frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} > 1\)

ii.\({u_3},{u_5},{u_6}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Giá trị của biểu thức \(S = \frac{{{u_7} - {u_6}}}{{{u_5}}}\) bằng:

\(\frac{1}{2}\).

\(1 + \sqrt 5 \).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của cấp số nhân.

Lời giải

Gọi công bội của cấp số nhân đã cho là \(q\).

Có \(\frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}}} > 1 \Leftrightarrow {q^3} > 1 \Leftrightarrow q > 1\).

Có \({u_3},{u_5},{u_6}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_3} + {u_6} = 2{u_5}\)

\( \Leftrightarrow {u_3} + {u_3}.{q^3} = 2{u_3}.{q^2} \Leftrightarrow {u_3}\left( {{q^3} - 2{q^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {q^3} - 2{q^2} + 1 = 0\) (do \(\left. {{u_n} \ne 0} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {q - 1} \right)\left( {{q^2} - q - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 1\left( l \right)}\\{q = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\\{q = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\left( l \right)}\end{array}} \right.\).

Khi đó, ta có \(S = \frac{{{u_7} - {u_6}}}{{{u_5}}} = \frac{{{u_5}\left( {{q^2} - q} \right)}}{{{u_5}}} = {q^2} - q = 1\).