Cho cấp số nhân un thỏa mãn 2 (u3 + u4 +u5) = u6 + u7+ u8

95/235

Cho cấp số nhân \[{u_n}\] thỏa mãn \[{\rm{2(}}{{\rm{u}}_3}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_4}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_5}{\rm{) = }}{{\rm{u}}_6}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_7}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_8}{\rm{.}}\]

Tính \(\frac{{{u_3} + {u_9} + {u_{10}}}}{{{u_2} + {u_3} + {u_4}}}.\)

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({u_n} = {u_k}{q^{{\kern 1pt} n - k}}\)

Giải chi tiết

Giả sử cấp số nhân có công bội là, khi đó theo bài ra ta có:

\(2{\mkern 1mu} ({u_3} + {u_4} + {u_5}) = {u_6} + {u_7} + {u_8}\)

\( \Leftrightarrow 2({u_3} + {u_3}q + {u_3}{q^2}) = {u_6} + {u_6}q + {u_6}{q^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{u_3}(1 + q + {q^2}) = {u_6}(1 + q + {q^2})\)

\( \Leftrightarrow 2{u_3} = {u_6}\quad (1 + q + {q^2} > 0)\)

\( \Leftrightarrow 2{u_3} = {u_3}{q^3} \Leftrightarrow {u_3}(2 - {q^3}) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_3} = 0}\\{q = \sqrt[3]{2}}\end{array}} \right.\)

Ta có:

\(\frac{{{u_3} + {u_9} + {u_{10}}}}{{{u_2} + {u_3} + {u_4}}} = \frac{{{u_8} + {u_8}q + {u_8}{q^2}}}{{{u_2} + {u_2}q + {u_2}{q^2}}} = \frac{{{u_8}(1 + q + {q^2})}}{{{u_2}(1 + q + {q^2})}} = \frac{{{u_8}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_2}{q^6}}}{{{u_2}}} = {q^6} = 4.\)