Cho cấp số nhân (un) có u20 = 8u17, u1 + u5 = 272.

Phương pháp giải: Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\), sau đó áp dụng công thức tính tổng n số hạng đâu tiên của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Giải chi tiết:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{20}} = 8{u_{17}}}\\{{u_1} + {u_5} = 272}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}.{q^{19}} = 8{u_1}.{q^{16}}}\\{{u_1} + {u_1}{q^4} = 272}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{q^3} = 8}\\{{u_1} + {u_1}{q^4} = 272}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{q = 2}\\{{u_1} + 16{u_1} = 272}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{q = 2}\\{{u_1} = 16}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {S_{100}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{100}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{16\left( {1 - {2^{100}}} \right)}}{{1 - 2}} = 16\left( {{2^{100}} - 1} \right)\)

Ta có cấp số nhân có dạng tổng quát \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = {16.2^{n - 1}}\)

\( \Rightarrow \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n} + 5}}{{2{u_{n + 1}} + 1}} = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{16.2}^{n - 1}} + 5}}{{{{2.16.2}^n} + 1}} = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{16.2}^{n - 1}} + 5}}{{{{64.2}^{n - 1}} + 1}} = \frac{1}{4}\)