Cho cấp số nhân (un) có công bội q và thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 26\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 364\end{array} \right.\). Tìm q, biết q > 1.

Đáp án: 3.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 26\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 364\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 26\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right) = 364\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u_1^2{\left( {1 + q + {q^2}} \right)^2} = {26^{2\,}}\,\,\,\,\,\,\,(1)\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right) = 364\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Lấy (1) chia (2) ta được:

\(\frac{{{{\left( {1 + q + {q^2}} \right)}^2}}}{{1 + {q^2} + {q^4}}} = \frac{{{{26}^2}}}{{364}} \Leftrightarrow 3{q^4} - 7{q^3} - 4{q^2} - 7q + 3 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {{q^2} + \frac{1}{{{q^2}}}} \right) - 7\left( {q + \frac{1}{q}} \right) - 4 = 0\)

Đặt \(t = q + \frac{1}{q},\left| t \right| \ge 2\). Phương trình trở thành 3t² – 7t – 10 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\,(loai)\\t = - \frac{{10}}{3}\,\,(tm)\end{array} \right.\).

Với \(t = - \frac{{10}}{3}\), suy ra \(q + \frac{1}{q} = - \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow 3{q^2} - 10q + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.\).

Vì q > 1 nên q = 3.