Cho cấp số nhân (un) có công bội q và thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 49\left( {\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}

Đáp án: 29.

Nếu u₁, u₂, u₃, u₄, u₅ là một cấp số nhân với công bội q thì \(\frac{1}{{{u_1}}},\frac{1}{{{u_2}}},\frac{1}{{{u_3}}},\frac{1}{{{u_4}}},\frac{1}{{{u_5}}}\) cũng tạo thành cấp số nhân với công bội \(\frac{1}{q}\).

Do đó, từ giả thiết ta có:

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = u₁(1 + q + q² + q³ + q⁴)

\(\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}} = \frac{1}{{{u_1}}}\left( {1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{{{q^2}}} + \frac{1}{{{q^3}}} + \frac{1}{{{q^4}}}} \right)\)

Suy ra u₁(1 + q + q² + q³ + q⁴) = 49 .\(\frac{1}{{{u_1}}}\left( {1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{{{q^2}}} + \frac{1}{{{q^3}}} + \frac{1}{{{q^4}}}} \right)\)

Chia cả 2 vế cho (1 + q + q² + q³ + q⁴) ta được:

\({u_1} = \frac{{49}}{{{u_1}{q^4}}} \Leftrightarrow u_1^2 \cdot {q^4} = 49 \Leftrightarrow {\left( {{u_1}{q^2}} \right)^2} = 49 \Leftrightarrow {u_1}{q^2} = \pm 7\)

Với u₁q² = −7 = u₃. Thay vào \({u_1} + {u_3} = 35\) ta được: u₁ – 7 = 35 ⇔ u₁ = 42. Suy ra \({q^2} = - \frac{7}{{42}}\) (vô lý).

Với u₁q² = 7. Thay vào \({u_1} + {u_3} = 35\), ta được: u₁ + 7 = 35 ⇔ u₁ = 28 => q = \(\frac{1}{2}\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 28\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 28\\q = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\). Khi đó u₁ + 4q² = 28 + 4.\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)= 29.