Cho cấp số nhân (un) có công bội nguyên và các số hạng thỏa mãn un4 - un2 = 54, un5 - un3 = 108. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Đáp án đúng là: Mệnh đề 1: Đúng. Mệnh đề 2: Sai.

Phương pháp giải:

Viết các số hạng dưới dạng \({u_1}\) và \(q\). Lập tỉ số để giải hệ phương trình tìm \({u_1}\) và \(q\).

Lời giải chi tiết:

Hệ phương trình đã cho tương đương với: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}q\left( {{q^2} - 1} \right) = 54\quad (1)}\\{{u_1}{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 108\quad (2)}\end{array}} \right.\).

Lấy (2) chia (1) vế theo vế, ta được: \(q = \frac{{108}}{{54}} = 2\).

Thay \(q = 2\) vào phương trình (1): \({u_1} \cdot 2\left( {{2^2} - 1} \right) = 54 \Leftrightarrow 6{u_1} = 54 \Leftrightarrow {u_1} = 9\).

Mệnh đề 1 đúng, mệnh đề 2 sai.