Cho cấp số nhân (un), biết u1 + u5 = 51; u2 + u6 = 102. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102\,\,(2)\end{array} \right.\).

Nếu u₁ = 0 hay q = 0 thì (1) và (2) đều không thỏa mãn. Do đó, ta có: u₁q 0.

Chia (2) cho (1) ta được q = 2.

Thay q = 2 vào (1) suy ra \({u_1} = \frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3\).

b) Sai. Công thức tổng quát của cấp số nhân là: u_n = 3.2^{n - 1} => u₄ = 3.2³ = 24

c) Sai. Xét u_n = 12288 ⇔ 3.2^{n - 1} = 12288 ⇔ 2^{n - 1} = 2¹² ⇔ n = 13.

Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

d) Đúng. Ta có: \({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^8}} \right)}}{{1 - 2}} = 765\).