Cho cấp số nhân ( u n ) có công bội nguyên và các số hạng thỏa mãn: { u4 − u2 = 54 và u5 − u3 = 108 a) Số hạng đầu là u1 = 9.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

 

a) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 54\\{u_5} - {u_3} = 108\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 54\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 108\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 54\\{u_1}.\left( {{q^4} - {q^2}} \right) = 108\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 54\\\frac{{{q^4} - {q^2}}}{{{q^3} - q}} = 2\end{array} \right.\]

     \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 54\\q = 2\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\q = 2\end{array} \right.\].

Vậy số hạng đầu của cấp số nhân là \[{u_1} = 9.\]

b) Công bội của cấp số nhân là \[q = 2.\]

c) Ta có: \[{S_n} = 4599\] \[ \Leftrightarrow \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 4599\] \[ \Leftrightarrow \frac{{9.\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 4599\].

\[ \Leftrightarrow - 9.\left( {1 - {2^n}} \right) = 4599\] \[ \Leftrightarrow 1 - {2^n} = - 511\] \[ \Leftrightarrow {2^n} = 512\] \[ \Leftrightarrow n = 9\].                                                                                               

Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng \[4599\].

d) Ta có: \[{u_k} = 576\] \[ \Leftrightarrow {u_1}.{q^{k - 1}} = 576\] \[ \Leftrightarrow {9.2^{k - 1}} = 576\] \[ \Leftrightarrow {2^{k - 1}} = 64\] \[ \Leftrightarrow k = 7.\]

Vậy số \[576\] là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.