Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} + {u_5} = 51;{u_2} + {u_6} = 102\). 

Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân đã cho.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51 & & (1)}\\{{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102 & (2)}\end{array}} \right.\).

Nhận xét: Nếu \({u_1} = 0\) hay \(q = 0\) thì (1) và (2) đều không thoả mãn, vì vậy ta có \({u_1}q \ne 0\). Chia theo vế (2) cho (1), ta được: \(q = 2\).

Thay \(q = 2\) vào (1) suy ra \({u_1} = \frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3\).

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = 3 \cdot {2^{n - 1}}\). Khi đó, \({u_4} = 3 \cdot {2^3} = 24\).

Xét \({u_n} = 12288 \Leftrightarrow 3 \cdot {2^{n - 1}} = 12288 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{12}} \Leftrightarrow n = 13\).

Vậy 12 288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là: \({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^8}} \right)}}{{1 - 2}} = 765\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                    d) Đúng.