Cho cấp số cộng un với {u_1} = 11;{u_2} = 13

105/120

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 11;\,\,{u_2} = 13\).

Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{99}}{u_{100}}}}\).

\(S = \frac{9}{{209}}\).

\(S = \frac{{10}}{{211}}\).

\(S = \frac{{10}}{{209}}\).

\(S = \frac{9}{{200}}\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

- Tìm công sai d của cấp số nhân.

- Tính số hạng tổng quát của S là \(\frac{1}{{{u_n}{u_{n + 1}}}}\), sau đó rút gọn và tính tổng S

Lời giải

Gọi d là công sai của cấp số cộng ta có: \(d = {u_2} - {u_1} = 13 - 11 = 2\).

Khi đó ta có

\(\frac{1}{{{u_n}{u_{n + 1}}}} = \frac{1}{{{u_n}\left( {{u_n} + 2} \right)}}\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{u_n} + 2}}{{{u_1}\left( {{u_n} + 2} \right)}} - \frac{{{u_n}}}{{{u_1}\left( {{u_n} + 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{{{u_n}}} - \frac{1}{{{u_n} + 2}}} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{u_n}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\)

Suy ra

\(S = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{99}}{u_{100}}}}\)

\(S = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}}} - \frac{1}{{{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{99}}}} - \frac{1}{{{u_{100}}}}} \right)\)

\(S = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{100}}}}} \right)\)

\(S = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_1} + 99d}}} \right)\)

\(S = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{11}} - \frac{1}{{11 + 99.2}}} \right) = \frac{9}{{209}}\)