Cho cấp số cộng (un) có u3 = 6 và u10 = 34.

1. a) Ta có công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là:

u_n = u₁ + (n - 1).d

u₃ = u₁ + 2d = 6 (*)

u₁₀ = u₁ + 9d = 34 (**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

.u1+2d=6  u1+9d=34⇔7d=28    u1+2d=6⇔d=4                      u1=6−2d=6−2.4⇔d=4   u1=−2

b) Áp dụng công thức tính tổng cấp số cộngSn=n2u1+n−1d2 .

Nên ta có S = u₁ + u₂ + ... + u₁₀ = S₁₀

_{S10=10 .  [2.−2+9.4]2=160.}

2. Gọi cấp số cộng (u_n) là: u_n = u₁ + (n - 1).d

Cấp số nhân (v_n) có công thức số hạng tổng quát là v_n = v₁.q^{n - 1}

Ba số v₁, v₄ và v₇ lần lượt là các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ mười của cấp số cộng (u_n) nên ta có hệ phương trình:

v1=u1 v4=u2 v7=u10⇔v1=u1           v1.q3=u1+d  v1.q6=u1+9d⇔v1=u1           v1.q3−1=d  v1.q6−1=9d

Þ v₁.(q⁶ - 1) - 9v₁.(q³ - 1) = 0

Û v₁.(q³ - 1)(q³ + 1 - 9) = 0

Û v₁.(q³ - 1)(q³ - 8) = 0 (***)

Vì d ¹ 0 nên v₁.(q³ - 1) ¹ 0

Vậy (***) thỏa mãn khi q³ - 8 = 0 suy ra q = 2.