a) Đúng.Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).

Theo giả thiết, ta có: \({u_4} = {u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\) và \({u_3} = {u_1}{q^2}\); \({u_8} = {u_1}{q^7}\).

Khi đó ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{q^5} = \frac{1}{{243}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \frac{1}{3}}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.\).

Vậy \({u_1} = 2\); \({u_2} = {u_1}q = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

b)Đúng.Ta có \({u_3} = {u_1}{q^2} = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{2}{9}\); \({u_5} = {u_1}{q^4} = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^4} = \frac{2}{{81}}\).

Do đó \({u_5} - {u_3} = - \frac{{16}}{{81}}\).

c)Sai.Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}}\).

Xét \({u_n} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}}\)\( \Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9.\)

Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).

d)Sai. Tổng chín số hạng đầu của cấp số nhân là:

\({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right]}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2,99985 < 3\).

Cho cấp số cộng u(n) có u1 = 4, d= -5