Cho cấp số cộng (un) biết { u1 + u6 = 40 u3 + u7 = 52 }. a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un) đó.

a) Ta có công thức số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Hệ phương trình đã cho tương đương: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_1} + 5d = 40}\\{{u_1} + 2d + {u_1} + 6d = 52}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 5d = 40\\2{u_1} + 8d = 52\end{array} \right.} \right.\).

Trừ vế theo vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: \(3d = 12 \Leftrightarrow d = 4\).

Thay \(d = 4\) vào phương trình \(2{u_1} + 5d = 40\) ta được: \(2{u_1} + 5 \cdot 4 = 40 \Leftrightarrow 2{u_1} = 20 \Leftrightarrow {u_1} = 10\).

Vậy số hạng đầu \({u_1} = 10\) và công sai \(d = 4\).

b) Tổng của 10 số hạng đầu tiên là: \({S_{10}} = \frac{{10}}{2}\left[ {2{u_1} + 9d} \right] = 5 \cdot \left[ {2 \cdot 10 + 9 \cdot 4} \right] = 5 \cdot \left( {20 + 36} \right) = 5 \cdot 56 = 280\).