Cho cấp số cộng ( u n ) có công sai d = 2 và biểu thức (u2)^2 + (u2)^ 3 + (u2)^ 4 đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2026 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
Giải thích
Ta có \({u_2} = {u_1} + 2;{u_3} = {u_1} + 4;{u_4} = {u_1} + 6\).
Ta có \(u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = {\left( {{u_1} + 2} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 4} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 6} \right)^2}\)\( = 3u_1^2 + 24{u_1} + 56\)\( = 3\left( {u_1^2 + 8{u_1}} \right) + 56\)\( = 3{\left( {{u_1} + 4} \right)^2} + 8 \ge 8\).
Biểu thức \(u_2^2 + u_3^2 + u_4^2\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \({u_1} = - 4\).
Khi đó \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 4 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2 = 2n - 6\).
Theo đề ta có \({u_n} = 2026\)\( \Leftrightarrow 2n - 6 = 2026 \Leftrightarrow n = 1016\).
Số 2026 là số hạng thứ 1016 của cấp số cộng.
Trả lời: 1016.