Cho cấp số cộng (an) , cấp số nhân (bn) thỏa mãn a2>a1>=0, b2>b1>=1 và hàm số f(x)=x^2-3x sao cho f(a1)+2=f(a1) và f(log2b1)+2=f(log2b1). Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho bn>2019an

Đáp án D

Xét hàm số fx=x3−3x trên 0;+∞.

Ta có f'x=3x2−3=0⇔x=1∈0;+∞x=−1∉0;+∞.

Bảng biến thiên hàm số f(x) trên 0;+∞ như sau:

Vì a2>0 nên fa2≥−2⇒fa1=fa2+2≥0   1.

Giả sử a1≥1, vì fx đồng biến trên 1;+∞ nên fa2>fa1 suy ra fa2+2>fa1 vô lý.

Vậy a1∈0;1 do đó −2≤fa1≤0  ​2.

Từ (1), (2) ta có: fa1=0fa2=−2⇔a1=0a2=1.

Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số cộng an là: an=n−1.

Đặt t1=log2b1t2=log2b2, suy ra: ft1=ft2+2 , vì 1≤b1<b2  nên 0≤t1<t2, theo lập luận trên ta có: t1=0t2=1⇔log2b1=0log2b2=1⇔b1=1b2=2.

Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số nhân bn là bn=2n−1.

Do đó bn>2019an⇔2n−1>2019n−1   *.

Trong 4 đáp án n=16 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (*).