Cho ((căn 1+x)+căn(1−x))/(căn(1+x)−căn(1−x))=căn 2. Với |x|<1;x≠0. Chứng minh rằng (x−1)/(x+1)=12 căn 2−17.

Ta có: \[\frac{{\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }} = \sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} } \right)\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} } \right)}}{{\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} } \right)\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} } \right)}} = \sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} } \right)}^2}}}{{1 + x - \left( {1 - x} \right)}} = \sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{1 + x + 2\sqrt {1 - {x^2}} + 1 - x}}{{2x}} = \sqrt 2 \](1)

ĐKXĐ: x ≠ 0

Khi đó, (1) \[ \Leftrightarrow \frac{{2 + 2\sqrt {1 - {x^2}} }}{{2x}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow 1 + \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt 2 x \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt 2 x - 1\]

Bình phương hai vế, ta được: \[1 - {x^2} = 2{x^2} - 2\sqrt 2 x + 1 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\sqrt 2 x = 0\]

Vì x ≠ 0 nên \[x\left( {3x - 2\sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2\sqrt 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\]

Xét \[\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3} - 1}}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3} + 1}} = \frac{{2\sqrt 2 - 3}}{{2\sqrt 2 + 3}} = \frac{{\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)}}{{\left( {2\sqrt 2 + 3} \right)\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)}} = \frac{{{{\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)}^2}}}{{8 - 9}} = \frac{{8 - 12\sqrt 2 + 9}}{{ - 1}} = 12\sqrt 2 - 17\]

Điều phải chứng minh