Cho các vectơ vec a = (1; - 2),vec b = ( - 2; - 6),vec c =m + n; - m - 4n. a) Hai vectơ vec a,vec b có cùng phương không? Tìm góc tạo bởi hai vectơ vec a,vec b. b) Tìm hai số m,n sao cho vec

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 6}} \Rightarrow \vec a,\vec b\) không cùng phương.

Ta có: \(\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{|\vec a| \cdot |\vec b|}} = \frac{{1( - 2) + ( - 2)( - 6)}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow (\vec a,\vec b) = 45^\circ \).

b) \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{m + n}}{1} = \frac{{ - m - 4n}}{{ - 2}}}\\{\sqrt {{{(m + n)}^2} + {{( - m - 4n)}^2}}  = 3\sqrt 5 }\end{array}} \right.\)

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - 2m - 2n =  - m - 4n\\{(m + n)^2} + {(m + 4n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\45{n^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m =  - 2\\n =  - 1\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\end{array}\]