Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 5 và xy + yz + xz = 8. Chứng tỏ rằng: 1 <= x <= 7/3; 1 <= t <= 7/3 1<= z <= 7/3

Đặt S=y+z và P=yz.

Theo bài, x+y+z=5 nên ta có x + S = 5, suy ra y + z = S=5–x.

Theo bài, xy+yz+xz=8 nên xy + xz + P = 8

Suy ra yz = P=8–x(y+z)=8–x(5–x).

Từ đó y, z là nghiệm của phương trình:

t²–(5–x)t+8–x(5–x)=0 với S²–4P ≥ 0. (*)

Xét điều kiện (*):

S²–4P ≥ 0

(5–x)²–4[8–x(5–x)] ≥ 0

25 – 10x + x² – 32 + 4x(5 – x) ≥ 0

25 – 10x + x² – 32 + 20x – 4x² ≥ 0

–3x² + 10x – 7 ≥ 0

3x²–10x+7 ≤ 0.

Ta có: 3x² – 10x + 7 = (3x² – 3x) – (7x – 7)

        = 3x(x – 1) – 7(x – 1) = (x – 1)(3x – 7)

       \( = 3\left( {x - 1} \right)\left( {x - \frac{7}{3}} \right).\)

Với mọi x ta luôn có: \(x - 1 > \left( {x - 1} \right) - \frac{4}{3}\) hay \(x - 1 > x - \frac{7}{3}.\)

Do 3x²–10x+7 ≤ 0 và \(x - 1 > x - \frac{7}{3}\) nên suy ra:

\(x - \frac{7}{3} \le 0\) và x – 1 ≥ 0 hay \(1 \le x \le \frac{7}{3}.\)

Tương tự ta chứng minh được: \(1 \le y \le \frac{7}{3};\,\,1 \le z \le \frac{7}{3}.\)

Vậy \(1 \le x \le \frac{7}{3};\,\,1 \le y \le \frac{7}{3};\,\,1 \le z \le \frac{7}{3}.\)